Exercice 8. Soit un espace vectoriel sur ℝ et 1, 2, 3 et 4 une famille libre d'éléments de , les familles suivantes sont-elles libres? 1. ( 1,2 2, 3) Espaces Vectoriels Pascal lainé 2 2. ( 1, 3) 3. ( 1, 1+2, 4) 4. (3 1+ 3, 3, 2+ 3). 5. (2 1+ 2, 1−3 2, 4, 2− 1) Allez à : Correction exercice 8 Exercice 9. Dans ℝ4, comparer les sous-espaces et suivants : = ((1,0,1,1),(−1,−2,3. Exercice 2 Soit E un espace vectoriel normé sur R, F un espace vectoriel sur R et f une application linéaire surjective de E dans F. Pour tout x de F, on pose kxkF = inf{kakE | f(a) = x}. 1) Montrer que l'on obtient de cette manière une norme sur F rendant f continue si et seulement si Kerf est fermé dans E. 2) On suppose dans cette question que F = R et donc que f est une forme. Espaces vectoriels Fiche amendée par David Chataur et Arnaud Bodin. 1 Définition, sous-espaces Exercice 1 Montrer que les ensembles ci-dessous sont des espaces vectoriels (sur R) : — E 1 = f : [0;1] !R: l'ensemble des fonctions à valeurs réelles définies sur l'intervalle [0;1], muni de l'addition f +g des fonctions et de la multiplication par un nombre réel l f. — E 2 = (u n. Exercices - Topologie des espaces vectoriels normés: corrigé Normes Exercice 1 - Pour commencer...-L2/Math Spé-? Posonsy= 5 etx= −3.Alors5x+ 3y= 0,d'oùN(−3,5) = 0 sansque(−3,5) nesoitle vecteurnul.Nn'estpasunenorme! Exercice 2 - Les classiques!-L2/Math Spé-? Il suffit d'appliquer la définition d'une norme, et de vérifier les 3 propriétés essentielles. La difficulté. 4 Espaces vectoriels norm´es, espaces de Banach 4.1 Applications lin´eaires continues Comme un espace vectoriel norm´e est, comme on l'a vu muni d'une distance, toutes les notions de continuit´e, de limite etc. , y ont un sens. Proposition. Soit (E,N) un espace vectoriel norm´e. Les applications (x,y) →x+y de E ×E dans E et (λ,x) →λx de R×E dans E sont continues. D.
Exercice 14 Soit Eun espace vectoriel de dimension nie nsur K, on consid ere E 1 et E 2 deux sous-espaces vectoriels de Ede dimensions respectives n 1 et n 2. a. Donner un encadrement de dim(E 1 \E 2) et de dim(E 1 + E 2): b. Montrer l' egalit e : dim(E 1 + E 2) + dim(E 1 \E 2) = dim(E 1) + dim(E 2) (Suggestion : consid erer une base B 0 de E 1 \E 2, la compl eter en une base B 1 de E 1 en. Espaces vectoriels normés Avec corrigés Les numéros de Théorèmes, Propositions, etc font référence aux notes de cours. Exercice 1 Vérifier les propriétés suivantes dans un espace métrique (X;d) quelconque. -Les boules ouvertes sont ouvertes. -Les boules fermées sont fermées. -Les sphères sont fermées. Montrer que dans un espace vectoriel normé, les sphères sont d. espace vectoriel dense d'un espace de Banach E~. Proposition 1.4 Soient (E 1;kk 1) et (E 2;kk 2) deux espaces de Banach sur le m^eme corps K. Alors E 1 E 2 est un espace de Banach muni de la norme k(x 1;x 2)k= maxfkx 1k 1;kx 2k 2g: (1.1) Preuve. On montre sans di cult e que (1.1) d e nit une norme sur E 1 E 2 et ensuite que le Exercices de Jean-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur www.maths-france.fr * très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable Exercice 1 ** Montrer que la boule unité d'un espace vectoriel normé est un convexe de cet espace. Correction H [005839] Exercice 2 ***
Ressources de mathématiques. Déterminer si les ensembles suivants sont ou ne sont pas des sous-espaces vectoriels Exercices et corrigés sur les espaces vectoriels normés et topologie 1. Sur les normes. Exercice 1 Soit l'ensemble des suites réelles bornées. On rappelle que définit une norme sur . On définit . Question 1 Montrer que est une norme sur . Question 2 Montrer que et sont équivalentes et donner les valeurs optimales de et telles que . Corrigé de l'exercice 1 : Question 1 : On sait que. Un espace vectoriel normé est un couple (E,N)où Eest un K-espace vectoriel et Nest une norme sur E. Théorème 1. Soient Eun K-espace vectoriel et Nune norme sur E. ∀(x,y)∈ E2,|N(x)−N(y)|6N(x−y). Démonstration. Soit (x,y)∈ E2. N(x)=N(x−y+y)6N(x−y)+N(y)et donc N(x)−N(y)6N(x−y). En échangeant les rôles de xet y, on obtient N(y)−N(x)6(y−x)=N(x−y)et finalement, |N(x. Corrig´es d'exercices pour le TD 3 N'h´esitez pas a relever les ´eventuelles fautes dans ce document ! Soit (E,d) un espace vectoriel muni d'une distance v´erifiant • Pour tous x,y∈ Eet λ∈ R,d(λx,λy) = |λ|d(x,y). • Pour tous x,y,z∈ E, d(x+z,y+z) = d(x,y). Montrer que dprovient d'une norme, c'est-a-dire qu'il existe une norme N sur Etelle que pour tous x,y∈ E, d. Chapitre 12 : Espaces vectoriels normés - Cours com plet. - 1 - Espaces vectoriels normés. Chap. 12 : cours complet. 1. Normes, distances. Définition 1.1 : norme dans un K-espace vectoriel Exemples 1.1 : normes N 1, N 2, N ∞ dans K n ou C 0([a,b], K) Exemples 1.2 : espaces de fonctions intégrables et de carré intégrabl
Ainsi tout espace vectoriel normé est un espace métrique et la norme N engendre une topologie sur E. Noter qu'il existe des distances ne découlant pas d'une norme, comme par exemple, la distance discrète : d(x, y) = 0 si 1 si xy xy = ≠ En effet, l'application N obtenue en posant N(x) = d(x, 0) ne vérifie pas l'axiome d'homogénéité (E, +, .) est un espace vectoriel (ev) sur K (K-ev) si : 1) (E,+) est un groupe commutatif • l'addition est associative : ∀ (x,y,z) ∈3 E Exercice 1 : Soit E l'ensemble défini par E { (x ,x ,x ) R /x 1 2x 2 x3 0} 3 = 1 2 3 ∈ + − = Montrer que E est un sev de R3 Exercice 2 : Soit E un ev sur K et F1 et F 2 deux sev de E. Montrer que F1 IF2 est un sev de E 3. Somme de 2 sev. Exercice 19. Soit un espace vectoriel. Soit un endomorphisme de tel que 2= ∘ = . On pose 1=ker( − ) et 2=ker( + ) 1. Soit 1∈ 1 et 2∈ 2. Calculer ( 1) et ( 2). 2. Pour tout ∈ écrire = ()+ 2 − ()− 2 et montrer que 1⊕ 2= 3. On suppose que est de dimension finie et que ≠± . Soit ( 1, 2 ) une base de telle que : 1= ( 1 ) et 2=. Espaces Vectoriels Normés et Topologie Polycopié de cours Rédigé par Yannick Privat Bureau 321 - Institut Élie Cartan Nancy (Mathématiques) - Université Henri Poincaré Nancy 1 B.P. 239, F-54506 Vandoeuvre-lès-Nancy Cedex. e-mail : Yannick.Privat@iecn.u-nancy.fr. ii. Introduction Ce cours présente les grands concepts à l'origine de la Topologie et de l'Analyse fonctionnelle. L.
Vérification qu'un ensemble est un espace vectoriel. Bonus (à 9'45'') : Définition d'un espace vectoriel. Exo7. Cours et exercices de mathématiques pour les. Exercices corrigés - Espaces vectoriels normés de dimension finie Espaces de dimension finie Exercice 1 - Polynômes, norme infinie et norme 1 [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos Exercice6(résultatclassique:compactsemboîtés). 1. Soit (K n) une suite de compacts non vides d'un espace vectoriel normé, décroissante pour l'inclusion (pour tout n, K n+1 ˆK n).Démontrer que l'intersectio
